مسئله گشتاور نیرو نهم

با توجه به این که در مطلب گشتاور چیست، معادله گشتاور و برخی حالت های ممکن حرکتی و چرخشی بیان شد، در این مطلب به ذکر نمونه های مختلف از مسائل گشتاور و حل برخی سوالات رایج می پردازیم. ...

عکس نویسنده

بازدید :

زمان تقریبی مطالعه :

تاریخ : سه شنبه 1394/09/17

هدف:

با توجه به این که در مطلب "گشتاور چیست"، معادله گشتاور و برخی حالت های ممکن حرکتی و چرخشی بیان شد، در این مطلب به ذکر نمونه های مختلف از مسائل گشتاور و حل برخی سوالات رایج می پردازیم.

شرح درس:

بیشتر مسائلی که در گشتاور رو به رو هستیم، از این قرار هستند:

1) مسائل مربوط به الاکلنگ و تعادل
2) جرم یک جسم طویل یا دراز
3) تعادل تیر
4) نگهداشتن یک جسم دراز
5) بلند کردن یک تخته از یک انتهای آن
و....

ابتدا راه حل مناسب برای حل این مسائل ارائه کرده و بعد مثال های عددی را بررسی خواهیم کرد. مهم ترین چیز در محاسبه گشتاور، یافتن بازوی نیرو است.

تعادل الاکلنگی:

با توجه به شکل فوق می بینیم که جمع تمام گشتاورهای سیستم باید مساوی صفر باشد تا تعادل برقرار شود. طبق شکل تنها نیروی وارد بر جرم های m1 ، m2 و m3 نیروی وزن آن هاست؛ در نتیجه داریم:

g به دلیل مشترک بودن حذف شده است.

مثال:
در شکل زیر فرد A وزن 1000 N دارد و  فرد B وزن 500 N. فاصله فرد A از مرکز، 1m است. فاصله فرد B از مرکز چقدر است؟

از رابطه بالا داریم:

(D1 * M1) = (D2 * M2)

(500 N * M1) = (1000 N * 1 m)

M1= 2 meter

جرم یک جسم دراز:

منظور از جرم جسم دراز همان پیدا کردن مرکز جرم این جسم است. با استفاده از شرایط تعادل گشتاوری می توان مرکز جرم جسم را پیدا کرد. البته این قسمت از مطلب صرفا برای آشنایی شما با مرکز جرم و کمک گشتاور برای یافتن آن است.

شکل زیر را به دقت نگاه کنید:

می بینید که به راحتی از تعادل گشتاوری می توان مرکز جرم این جسم طویل را پیدا کرد!

تعادل تیر:

میله درازی را در نظر بگیرید که به کابلی وصل شده است. با استفاده از یک نقطه اتکا در دیوار که در این جا فرض می کنیم هیچ گشتاوری ندارد، نیروهای وارد بر این میله طبق شکل زیر هستند:

از آنجایی که کابل عمود بر میله نیست، می توان از خط عمودی نشان داده شده در شکل که همان بازوی نیروی کشش کابل است (کوتاه ترین فاصله بین نیروی اعمالی T (نیروی کشش کابل) و نقطه اتکا یعنی xTsinθ ، استفاده کرد).... به مطلب "گشتاور چیست "مراجعه کنید تا دلیل این کار را درک کنید.

به همین ترتیب می توان برای اکثر مسائل روزمره از تعادل گشتاوری استفاده کرد تا مجهولات را به دست بیاوریم.

مثال:
نردبانی 10 m  طول دارد. نیروی Fg به مرکز نردبان وارد شده و تمایل دارد آن را به پایین بکشد. اگر نردبان 5 kg  وزن داشته باشد و زاویه 30 درجه با افق داشته باشد، گشتاور ساعتگرد و پادساعتگرد، Fg و Fa چه مقداری دارند؟

ابتدا گشتاور Fg را پیدا می کنیم:  τ = Fg * r
می دانیم که Fg همان نیروی وزن است و Fg = 50 N
فاصله از محور چرخش یعنی همان نقطه اتکا 5 متر است و زاویه بین بردار r و نیرو ، 60 درجه است.

پس گشتاور نیروی وزن خواهد بود: τ=50*5*(sin 60°) =216.5 (N.m)

از آن جایی که نردبان در حالت تعادل است؛ پس برایند گشتاور نیروهای وارد بر جسم باید برابر صفر باشد؛ بنابراین گشتاور نیروی عکس العمل سطح بر نردبان هم 216.5 N.m  است.

برای پیدا کردن نیروی عکس العمل سطح می توان از رابطه گشتاور کمک گرفت:

τ = Fa *r

216.5=Fa *rsin(30°) ----> Fa=43.30 N

r  در اینجا 10 است و زاویه بین بین بردار r و نیروی Fa ،30 درجه است.

در دو شکل زیر می توانید بازوی نیرو برای آچاری که گشتاور دارد را مشاهده کنید:

اگر در مسئله ای ذکر شد که جسم در حال تعادل است، دو شرط مهم باید در حالت تعادل برقرار باشد تا بتوانید کمیت مجهول را پیدا کنید:

الف) برایند تمام نیروهای وارد بر جسم مساوی صفر باشد. به شکل زیر دقت کنید:

 ب) کل گشتاور نیروهای وارد بر جسم (ساعتگرد و پاد ساعتگرد) مساوی صفر باشد؛ مانند شکل زیر:

شکل فوق مثالی برای مورد 4 از مواردی است که در بالا گفته شد.

مثال:
یک نربان 2 متری که 5 کیلوگرم وزن دارد با زوایه 37 درجه روی یک سطح با ضریب اصطکاک  قرار دارد، ضریب اصطکاک دیوار نیز همین مقدار است. اگر یک فرد 40 کیلویی روی نردبان بایستد، نردبان قبل از اینکه سر بخورد، فرد چه قدر  می تواند روی نربان بالا رود؟ (sin 37˚ =0.6 , cos 37˚ =0.8)

ابتدا با توجه به شکل بالا رابطه اصطکاک بین پایه نردبان و زمین را می نویسیم؛ توجه کنید منظور از fکوچک اصطکاک است و FN نیروی عکس العمل سطح است:

رابطه 1

fزمین = µFNزمین

رابطه اصطکاک بین دیوار و بالای نردبان:

رابطه 2

fدیوار = µFNدیوار

تعادل نیروها در جهت  عمودی:

رابطه 3

ΣFy = 0: FNزمین + fدیوار = mنردبانg + mفردg

تعادل نیروها در جهت افقی:

رابطه 4

ΣFx = 0: fزمین = FNدیوار----> µFNزمین =FN دیوار

گشتاور نیروها نیز به صورت زیر است:

رابطه 5

Στ = 0: mنردبانg(L/2)cos(θ) + mفردg(xcos(θ)) = FNدیوارL sin(θ)

منظور از L در اینجا ارتفاع نربان است و x بازوی نیرو برای وزن فرد است .از رابطه 3 و 4 می توان داشت:

450= FNزمین + fدیوار = FNزمین + µFNدیوار = FNزمین + µ(µFNزمین) ----> FNزمین=388 N

پس در رابطه 5 داریم: X= 0.46 m

حال به شکل زیر دقت کنید:

مرکز یادگیری سایت تبیان - تهیه: خدیجه آلچالانلو
تنظیم: مریم فروزان کیا